回転変換，相似変換，回転相似変換の合成 ここでは，異なる2点を中心とするする回転変換，異なる2点を中心とする相似変換，異なる2点を 中心とする回転相似変換（回転変換と相似変換の合成変換を回転相似変換ということにする）の合成を 扱います． 1.異なる2点を中心とする回転変換の合成 Ｏを中心とするα°の回転変換をＳ（Ｏ，α°）と書きます． Ｏ１，Ｏ２を異なる2点とするときＳ（Ｏ１，α°），Ｓ（Ｏ２，β°） の合成変換を考えましょう． 回転変換を対称変換の合成で表して考えます．

Ｏを通る２直線ｌ．ｍのなす角（ｌからｍへ測った角）がα°／２ならｌ，ｍがどこにあろうとも， ｌに関して対象変換しさらにｍに関して対象変換するとその合成変換はＯを中心とするα°の回転変換になります． その性質を使います．

　

Ｏ１，Ｏ２を通る２直線のうち片方を直線Ｏ１Ｏ２ を用いるのがうまいやり方です．直線Ｏ１Ｏ２を直線ｍとし，図のｌはｍと −α／２をなす直線で，ｎはｍとβ／２をなします．Ｓ（Ｏ１，α°），Ｓ（Ｏ２，β°） の合成変換は，ｌ，ｍ，ｍ，ｎによる対称変換を続ければよく，ｍを続けて行うことは，恒等変換 ですから，ｌ，ｎによる対称変換を続けて行う変換すなわちＳ（Ｏ，α＋β）と一致することが分かりました． ちなみに合成した回転の中心Ｏは，直線Ｏ１Ｏ２を点Ｏ１の周りに−α°／２回転した直線と， 直線Ｏ２Ｏ１を点Ｏ２の周りにβ°／２回転した直線との交点です． ２．異なる２点を中心とする相似変換の合成 具体例を考えましょう．次の図は，点Ｏ１を中心として，線分ＡＢを１．５倍に相似変換したのが線分 Ａ１Ｂ１で，さらにＡ１Ｂ１を点Ｏ２を 中心として，２倍に相似変換したのがＡ２Ｂ２となっています． 線分ＡＢと線分Ａ２Ｂ２が相似の位置にあると仮定して考えると， 直線ＡＡ２と直線ＢＢ２の交点は直線Ｏ１Ｏ２上 にあるので，相似の中心は直線Ｏ１Ｏ２上にありそうです．これをヒントにしましょう．

　

次の図で，Ｏ１Ｑ／Ｏ１Ｐ＝ｍ，Ｏ２Ｒ／Ｏ２Ｑ＝ｎとします． このとき△ＱＯ１Ｏ２に メネラウスの定理を用いて Ｏ２Ｏ：ＯＯ１＝ｎ（ｍ−１）：ｎ−１　　　・・・�@ を得ます． 逆に�@を満たせば△ＲＯ２Ｏにメネラウスの定理を用いて ＯＲ／ＯＰ＝ｍｎ を得ます． したがって，Ｏ２Ｏ１を�@で定まる比に内分した点が，合成変換の相似の中心となります．

　

３．異なる２点を中心とする，回転相似変換の合成 点Ｏ１の周りにα回転し，ｍ倍した変換をＳ（Ｏ１，α，ｍ）， 点Ｏ２の周りにβ回転し，ｎ倍した変換をＳ（Ｏ２，β，ｎ）とします． 下の図は，変換Ｓ（Ｏ１，α，ｍ）によって，線分ＡＢがＡ’Ｂ’， 変換Ｓ（Ｏ２，β，ｎ）によって，線分Ａ’Ｂ’が線分Ａ”Ｂ”にうつったことを 表しています． 直線ＡＢと直線Ａ”Ｂ”の交点をＣとします．線分ＡＢを線分Ａ”Ｂ”にうつす回転相似変換が 存在すると仮定し，その中心をＯとします． ２直線ＡＢ，Ａ”Ｂ”のなす角はα＋β（またはその補角）であり， さらに，∠ＡＯＡ”＝α＋β，∠ＢＯＢ”＝α＋β．したがって，四角形ＯＡＣＡ”，ＯＢＣＢ”は ともに円に内接します． したがって，△ＡＣＡ”の外接円と△ＢＣＢ”の外接円の交点のうち Ｃでないほうがこの回転相似変換の中心になることが分かりました．

　

逆に，△ＡＣＡ”の外接円と△ＢＣＢ”の外接円の交点のうち ＣでないほうをＯとすると， △ＯＡＢ∽△ＯＡ”Ｂ”（∵∠Ａ＝∠Ａ”，∠Ｂ＝∠Ｂ”） より線分ＡＢは相似回転変換でＡ”Ｂ”にうつります．

　

以上で，異なる２点の周りの変換の合成がやはり同じ種類の変換になるということの 証明が終了いたしました. ここでの内容は Geometric Transformations �T,�U，�V　New Mathematicsl Library,Random House, New York and the L.W.Singer Co,Syracuse. を参考にしました．英語に対するアレルギーさえなければ高校生でも十分読みこなせます． 問題を解説しながら，重要な内容に触れているとても優れたテキストです．一度眺めてみることを お勧めします． さて，以上の内容は，とても重要ですが，日本ではここで扱ったようには 扱いません．行列を勉強すると簡単に証明できてしまうからです． 簡単にそのことを触れてこの段落を終わりにします． Ａ，Ｂを行列，ａ．ｂ，ｃ，ｘをベクトルとします．ａの周りの変換は ｘ→Ａ（ｘ−ａ）＋ａ となり，ａの周りの変換とｂの周りの変換の合成は 座標軸と取り替えて，原点の周りの変換とｃの周りの変換の合成と考え， ｘ→Ａｘ→Ｂ（Ａｘ−ｃ）＋ｃ＝ＢＡｘ−Ｂｃ＋ｃ したがって ＢＡｘ−Ｂｃ＋ｃ＝ＢＡ（ｘ−ｄ）＋ｄ （Ｅ−Ｂ）ｃ＝（Ｅ−ＢＡ）ｄ　　・・・�@ 任意のｃに対してｄが存在するかという問題に帰着されるので，一般論で簡単に解決します． ただ，存在がいえるだけで，新しい相似の中心を求めるのは，一般論の弱みで，行列の議論ではそれほど簡単ではありません．